Twoja wyszukiwarka

WITOLD SADOWSKI
ACHILLES, ŻÓŁW I LICZBY
Wiedza i Życie nr 7/1997
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 7/1997

PARADOKSY SĄ W DUŻEJ MIERZE ODPOWIEDZIALNE... ZA POSTĘP NAUKI. GDY UCZENI TRAFIĄ NA ZJAWISKO PARADOKSALNE, NA OGÓŁ NIE SPOCZNĄ, DOPÓKI NIE POJMĄ JEGO ISTOTY. NADER CZĘSTO BYWA TAK, ŻE DZIĘKI TEMU POWSTAJE NOWA TEORIA.

Podany przez Zenona z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia się zazwyczaj tak: oto Achilles ściga się z żółwiem, a będąc pewnym zwycięstwa daje mu fory: zwierzę drepcze już daleko w przodzie, gdy achajski biegacz zaczyna wyścig. Następnie Achilles dobiega do miejsca, w którym niedawno był żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do następnego miejsca, które znów osiąga w końcu Achilles, ale żółw dochodzi w tym czasie do nowego, Achilles znowu dobiega, ale żółw itd., itd., itd...

Ryc. Dariusz Stanert

W ten sposób Achilles nigdy nie dogoni żółwia - konkludował Zenon. Tak postawiony problem został dawno rozwiązany przez rachunek różniczkowy i tym nie będziemy się zajmować. Spróbujemy natomiast zastanowić się nad inną wersją powyższego paradoksu, podaną przez Bertranda Russela. Sytuacja jest taka sama - znowu żółw dostaje fory. Ale tym razem powód, dla którego zwierzę jest niedoścignione, okazuje się inny. Załóżmy, że w każdym momencie Achilles, podobnie jak żółw, jest w dokładnie jednym miejscu. Żeby prześcignąć żółwia, musi być w większej liczbie miejsc niż żółw (bo zwierzak był o ileś miejsc w przodzie). Z drugiej strony na każde przebyte miejsce trzeba poświęcić jeden moment (w danym momencie jest dokładnie w jednym miejscu). A przecież momentów na ich pokonanie ma tyle samo, czyli nie uda mu się dogonić żółwia!

Takie rozumowanie istotnie prowadzi do paradoksu, o ile jesteśmy przekonani, że część drogi ma mniej "miejsc" niż cała droga.

To, że część ma mniej elementów niż całość, wydaje się jednak słuszne: warszawiaków jest mniej niż Polaków, Polaków mniej niż Europejczyków, a Europejczyków mniej niż wszystkich ludzi. Wydawałoby się też, że np. liczb naturalnych (tzn.: 0, 1, 2, 3, 4...) jest mniej niż całkowitych (tzn.:... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...), bo przecież każda naturalna jest całkowita, a jeszcze tyle zostaje (... -3, -2, -1)! Ale czy na pewno to dobre rozumowanie?

Łączenie w pary punktów dwóch odcinków równej długości

Warto zastanowić się, co to znaczy, że jakieś dwa zbiory mają tyle samo elementów. Pierwsza odpowiedź, jaka narzuca się, to taka, że można policzyć, ile jest elementów w pierwszym, a ile w drugim zbiorze, a potem porównać obie liczby. Ale co zrobić, kiedy elementów będzie tak dużo, że nie będzie ich można policzyć w rozsądnym czasie - np. dlatego, że będzie ich nieskończenie wiele?

Spróbujmy więc inaczej. Połączmy elementy w pary: w każdej parze jeden element z pierwszego zbioru i jeden z drugiego (zakładamy, że tego samego elementu nie można włączać do pary dwa lub więcej razy). Jeżeli żaden element nie pozostanie samotny, to powiemy, że oba zbiory są równoliczne.

Czy to działa? Chyba tak: jeśli mamy sześć teściowych i sześciu zięciów, to odpowiednie pary można utworzyć (przynajmniej teoretycznie). Podobnie, zgodnie z intuicją, liczb dodatnich oraz ujemnych będzie tyleż samo, bo łączymy w pary: x z -x i nic samotnego nie zostaje. Kłopot w tym, że zaraz okaże się, że liczb naturalnych jest tyle, co całkowitych - połączmy pary:

0~0, -1~1, 1~2, -2~3, 2~4, -3~5, 3~6, itd. Łatwo zatem spostrzec, że żadna liczba nie zostanie samotna. Jak się okazuje część może mieć tyle elementów, co całość! Powróćmy więc do naszego żółwia.

Żeby obalić rozumowanie Zenona musimy pokazać, że na odcinku dłuższym jest tyleż punktów ("miejsc"), co na krótszym. Spójrzmy na rysunek na sąsiedniej stronie.

Widać na nim, że każdemu punktowi z pierwszego odcinka przyporządkowaliśmy dokładnie jeden punkt z drugiego i nic samotnego nie zostało (bo dla każdego punktu można poprowadzić odpowiednią strzałkę równoległą do pokazanych na rysunku). A zatem krótszy i dłuższy odcinek mają tyle samo punktów ("miejsc"). Uff! Achilles jednak przegoni żółwia.

Punktów na krótkim i długim odcinku jest tyle samo, liczb naturalnych nie jest mniej niż całkowitych - to jakiś dziwny świat... Pocieszające jest, że liczb rzeczywistych już nawet na odcinku (0, 1) - są to wszystkie możliwe długości odcinka krótszego od odcinka jednostkowego - jest więcej niż naturalnych (patrz ramka).

To, że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych, to jednak tylko "rzadki objaw normalności". Okazuje się, że prosta ma tyle samo punktów, co odcinek. Odcinek ma tyleż punktów, co płaszczyzna. Płaszczyzna tyle, co przestrzeń. Krótko mówiąc, są to rzeczy,
o których się nie śniło filozofom (szczególnie Zenonowi z Elei).

W ten sposób ucieczka przed paradoksem Zenona wprowadziła matematyków w krainę dość dziwnych twierdzeń. Sam Russel podawał przykład "paradoksu" odwrotnego do paradoksu Achillesa. Nazwał go paradoksem Tristama Shandy'ego i opisywał go tak: Shandy poświęcił dwa lata na pisanie kroniki dwu pierwszych dni swego życia i narzekał, że przy takim tempie materiał będzie gromadził się szybciej, niż on będzie w stanie opracowywać go, tak że z upływem czasu znajdować się będzie coraz dalej od końca swej historii. Zgodnie jednak z tym, co mówiliśmy wcześniej, gdyby Shandy żył wiecznie, spisałby całą swą historię: każdy dzień byłby opisany - powiedzmy, dzień numer n, byłby opisany w roku numer n.

Cała ta zabawa miała jednak dość smutny epilog. Powstało pytanie: czy istnieje taki zbiór, który ma więcej elementów niż jest liczb naturalnych, a mniej niż punktów ma prosta? Pytanie to, a raczej negatywna na nie odpowiedź przeszła do historii jako hipoteza continuum. Georg Cantor, który był twórcą przedstawionej wyżej teorii, bezskutecznie próbował na to - zdawałoby się proste pytanie - odpowiedzieć. Ciągłe niepowodzenia przyczyniły się do jego załamania nerwowego, które nie opuściło go do końca życia.

Innym matematykom, szukającym rozwiązania tego problemu, nie wiodło się lepiej. Do dziś krąży anegdota o pewnym rosyjskim uczonym, który po dziesięcioleciu bezowocnych badań
w tym zakresie, rzucił matematykę i zaczął pracować w cyrku. Dopiero kilkadziesiąt lat poźniej udało się rozwiązać ten problem. Odpowiedź brzmiała: Hipoteza continuum nie jest ani prawdziwa ani fałszywa. Jak jednak uzyskano tak zaskakujące rozwiązanie - to już całkiem inna historia.

WITOLD SADOWSKI jest studentem V roku Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matema- tyczno-Przyrodniczych.