Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
KARDIOIDA
Wiedza i Życie nr 10/1997
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 10/1997

KAŻDY WIE, JAK WYGLĄDA KOŁO, ELIPSA, PARABOLA. ZNACZNIE MNIEJ LUDZI ZNA ICH WŁAŚCIWOŚCI GEOMETRYCZNE, ALE TO INNA SPRAWA. MATEMATYCY ZNAJĄ JEDNAK CAŁE MNÓSTWO CIEKAWYCH I BARDZO PIĘKNYCH KRZYWYCH. OTO JEDEN PRZYKŁAD: KRZYWA STOPNIA CZWARTEGO, ZWANA KARDIOIDĄ.

Typowe równania tej krzywej są następujące:

  • Kartezjańskie: (-ax + x2 + y2)2 = a2(x2 + y2), a>0.
  • Biegunowe: r = a(1+ cos(t))
  • Parametryczne (dla a = 1):
    [cos(t) (1 + cos(t), (1 + cos(t)) sin(t)], gdzie 0, tèp

Ryc. 1. Kardioida i rodzina stycznych

Była ona badana przez Roemera (1674). Nazwy kardioida (sercokształtna; słowo pochodzenia greckiego) użył po raz pierwszy Castillon w Philosophical Transactions of the Royal Society w 1741 roku. Długość tej krzywej wyznaczył La Hire w 1708 roku: długość obwodu kardioidy o parametrze a wynosi 8a, zamknięta nią powierzchnia równa jest 3(pa2/2).

Ryc. 2. Kardioida jako wynik konstrukcji Rojas i McDonalda

Kardioida ma następującą ciekawą właściwość, opisaną ledwie przed rokiem: rozważmy 36 punktów, ponumerowanych od 0 do 35, rozłożonych równomiernie na okręgu. Połączmy punkt o numerze n z punktem o numerze mod[2n,36], gdzie symbol
mod[a, b] oznacza resztę z dzielenia liczby a przez liczbę b. Linie te są styczne do pewnej kardioidy (1996, Dina Rojas i Michael McDonald).

Ryc. 3. Kardioida jako wynik toczenia okręgu po okręgu

Kardioida może być także zdefiniowana jako ślad punktu na okręgu, który toczy się bez poślizgu po drugim - ustalonym - okręgu o tym samym promieniu.