Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
GEOMETRIA W KOMPUTERZE
Wiedza i Życie nr 7/1998
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 7/1998

Komputer jest wspaniałym narzędziem do uprawiania i nauczania matematyki. Pisałem już na tych łamach o doskonałych programach matematycznych, takich jak Derive, Mathcad czy Mathematica, które są prawdziwymi kombajnami i potrafią niemal wszystko: od numerycznego rozwiązywania równań, badania funkcji i robienia rewelacyjnej jakości wykresów do symbolicznego różniczkowania i całkowania oraz wykonywania innych wysoce abstrakcyjnych operacji, zrozumiałych tylko dla ludzi nieźle obeznanych z wyższą matematyką. Są to - pisałem - programy na ogół potężne (w sensie możliwości, ilości zajmowanego w komputerze miejsca, wreszcie wymagań sprzętowych) oraz drogie; wyjątkiem jest tu Derive - program doskonały, nieduży i mało wymagający, a przy tym względnie tani. Wspomniałem również, że jest pewna liczba programów typu shareware, tj. takich, których można przez pewien czas używać bezpłatnie, a które wykonują pewne funkcje tych komercyjnych, przy tym wcale od nich nie gorzej. Zwracałem uwagę m.in. na znakomity program z tej kategorii o nazwie Graphmatica.

W tej (hiperbolicznej) geometrii nieeuklidesowej przez punkt poza "prostą" (która na rysunku jest fragmentem okręgu) przechodzi więcej niż jedna "prosta" równoległa - jeżeli przez równoległą rozumiemy taką "prostą", która z daną nie ma ani jednego punktu wspólnego

Dziś chcę zainteresowanym matematyką i komputerami zwrócić uwagę na dwie nowości, których nie zawaham się nazwać rewelacyjnymi z kilku względów. Po pierwsze, świetnie wykonują swoje funkcje i będą szczególnie przydatne dla nauczycieli, po drugie, są całkowicie bezpłatne (należą do kategorii freeware). Chodzi mi o programy C.a.R. (Compasses and Ruler)1 oraz NonEuclid2, przeznaczone przede wszystkim do wspomagania nauczania geometrii, ale z pewnością mogące się bardzo przydać również prowadzącym badania naukowe w tej dziedzinie.

Zacznijmy od programu C.a.R. Podobnie jak znane już w Polsce od paru lat francuskie Cabri (za które jednak trzeba płacić!), realizuje on klasyczne euklidesowe konstrukcje geometryczne (tzn. te wykonywane "za pomocą cyrkla i linijki"). Potrafi oznaczyć punkty na płaszczyźnie, poprowadzić przez nie prostą, narysować odcinek, okrąg, wystawić prostopadłą, narysować równoległą, wyznaczyć przecięcie dwóch figur geometrycznych i jeszcze kilka innych równie prostych rzeczy. Co więcej, program umożliwia swego rodzaju eksperymentowanie: na przykład poruszanie pewnym punktem i obserwowanie, co stanie się z innymi obiektami konstrukcji (można również rejestrować efekty takiego ruchu, wyznaczając w ten sposób doświadczalnie tzw. miejsca geometryczne). Można również niektóre elementy rysunku ukrywać, odtwarzać poszczególne działania jako animacje itp. Na rys. 1, który sporządziłem za pomocą tego programu, widać konstrukcję wręcz banalną: przez dwa dane punkty AB poprowadzono prostą, z punktu C spuszczono na nią prostopadłą, następnie przez tenże punkt C poprowadzono prostopadłą do tej prostopadłej i uzyskano w ten sposób równoległą do pierwszej prostej. Jedyną równoległą, istniejącą w geometrii euklidesowej, dodajmy.

W "normalnej" geometrii euklidesowej przez punkt poza prostą przechodzi dokładnie jedna równoległa do niej

Przyjrzyjmy się teraz rys. 2. Przedstawia on tę samą konstrukcję, ale wykonaną za pomocą programu NonEuclid, który wypełnia niemal dokładnie te same funkcje, co C.a.R., ale - jak sama jego nazwa wskazuje - w... geometrii nieeuklidesowej; mianowicie, w tzw. geometrii hiperbolicznej. NonEuclid jest bowiem komputerową realizacją pewnego słynnego modelu geometrii nieeuklidesowej, zwanego - od nazwiska twórcy - modelem Poincarégo (istnieje jeszcze model Kleina - może z kolei ten model przeniesie do komputera ktoś z naszych Czytelników?).

Czy w geometrii nieeuklidesowej zachodzi odpowiednik twierdzenia Pitagorasa? "Kwadraty" zbudowane tradycyjną metodą na przyprostokątnych mają pola odpowiednio 0.113 i 1.109, natomiast "kwadrat" zbudowany na przeciwprostokątnej 1.238. Różnica niby niewielka...

Dwa słowa o tym modelu i samej geometrii hiperbolicznej. Otóż, jeśli przez słowo "płaszczyzna" będziemy rozumieli wnętrze pewnego koła, przez słowo "prosta" zaś taki fragment jakiegoś okręgu, który w punkcie brzegowym owego wyjściowego koła jest do tego brzegu prostopadły, to otrzymamy model dowodzący niesprzeczności takiej geometrii, w której przez punkt poza prostą można poprowadzić więcej niż jedną równoległą; to właśnie jest nieeuklidesowa geometria hiperboliczna. Na sporządzonym przeze mnie za pomocą tego pięknego programu rys. 2 widać wyraźnie, że do danej (błękitnej) prostej AB istnieje nie tylko jedna równoległa (także błękitna), skonstruowana identycznie, jak na rys. 1, ale także dwie "proste" zielone (a także wszystkie zawarte między tymi dwiema)...

Obydwa programy wymagają użycia co najmniej systemu Windows '95, na starych typach komputerów nie da się ich zatem uruchomić, ale to - moim zdaniem - ich jedyna wada. Nauczyciele, używający w szkole komputera do celów edukacyjnych, powinni być obydwoma zachwyceni - tak jak niżej podpisany.

PS Obydwa programy można znaleźć na naszej witrynie internetowej: http://www.proszynski.com.pl/WiedzaiZycie/redakcja

1 Dzieło niemieckiego matematyka i programisty, doktora René Grothmanna. Najnowsza wersja dostępna w Internecie jako plik car95i.exe, gdzie gwiazdka oznacza dowolny ciąg znaków, związany z numerem wersji, pod adresem http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/car.htm

2 Stworzony w amerykańskim Rice University w latach 1994-1997 przez zespół w składzie: matematyk i programista Joel Castellanos oraz profesor Joe Dan Austin i studenci Ervan Darnell i Elliot Anshelevich. Najnowsza wersja jest dostępna w Internecie pod adresem http://riceinfo.rice.edu/projects/NonEuclid/

Kontakt do Joela Castellanosa: joel@es.rice.edu