Twoja wyszukiwarka

MARCIN BRAUN
CUDOWNE ROZMNAŻANIE KUL
Wiedza i Życie nr 5/1999
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 5/1999

CZY MOŻNA ZWYKŁĄ KULĘ PODZIELIĆ NA KILKA CZĘŚCI, Z KTÓRYCH DA SIĘ ZŁOŻYĆ DWIE NOWE KULE, TAKIE SAME JAK POCZĄTKOWA?

To jedno z najbardziej szokujących twierdzeń matematyki zostało udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku1. Przez podział na części rozumiemy tutaj podział kuli (jako zbioru punktów) na kilka podzbiorów, z których żadne dwa nie mają części wspólnej. Również rozkładanie i ponowne składanie nie kryje w sobie żadnych pułapek: części poddajemy tylko ruchom sztywnym, tzn. przesunięciom i obrotom.

Słyszącemu takie stwierdzenie narzuca się zaraz "dowód" niemożności takiego podziału. Otóż suma objętości części, na które podzieliliśmy kulę, musi być równa objętości kuli. Ponieważ zaś przesunięcia i obroty nie mogą zmieniać objętości, każda nowa bryła złożona z tych części będzie miała taką samą objętość jak nasza kula.

Takie rozumowanie jest poprawne, ale tylko wtedy, gdy fragmenty, na jakie podzieliliśmy kulę, w ogóle mają jakąś objętość. Natomiast te, o których mowa w twierdzeniu Banacha- Tarskiego, objętości nie mają. Nie znaczy to bynajmniej, że ich objętość jest zerowa - po prostu nie da się jej określić.

Jak to się dzieje, że zbiór punktów w przestrzeni może nie mieć objętości? Cóż, bywają zbiory bardzo skomplikowane. Aby uprościć rozważania, zastanówmy się najpierw, czy zbiór punktów na prostej może nie mieć długości. Jaką na przykład długość przypisać zbiorowi liczb wymiernych z przedziału [0, 1]? A reszcie tego przedziału? Żaden z tych zbiorów nie zawiera nawet najkrótszego odcinka, składają się one z "rozsypanych" punktów. Czyżby więc miały długość zerową? Gdyby tak było, ich suma też musiałaby mieć zerową długość, a przecież ta suma jest całym odcinkiem!

Ryc. Jerzy Szałaciński

Jednak z tym przykładem matematycy umieli sobie poradzić. Wymyślono teorię, zwaną teorią miary, pozwalającą zmierzyć oba opisane w poprzed  nimakapicie zbiory, a także wiele innych, jeszcze dziwniejszych. Mimo wszystko pozostają jeszcze zbiory wyjątkowo paskudne, których zmierzyć się nie da. Czy można stworzyć lepszą teorię miary: taką, która pozwalałaby na zmierzenie wszystkiego? Okazuje się, że nie. Zawsze znajdą się jakieś paskudne zbiory na prostej, których długość nie będzie określona, a także zbiory w przestrzeni, dla których nie da się określić objętości. Zbiory takie nazywamy niemierzalnymi.

Dzięki istnieniu zbiorów niemierzalnych możliwy jest trick z dowodu Banacha i Tarskiego; powiększamy objętość, przechodząc po drodze przez zbiory, dla których w ogóle nie jest ona określona. Ale skąd wziął się pomysł takich rozważań? Otóż paradoksalny podział kuli (a także samo istnienie zbiorów niemierzalnych) jest wnioskiem z pewnika wyboru, pewnego aksjomatu teorii zbiorów.

PEWNIK WYBORU

Pod koniec XIX wieku pojawiła się nowa dziedzina matematyki - teoria zbiorów, zwana też teorią mnogości. Jej podstawowe pojęcia - jak zbiór, suma czy część wspólna zbiorów - są  jasne i dzisiaj mówi się o nich już w szkole podstawowej. Jednak rozwój teorii mnogości zaczął prowadzić do wielu nieoczekiwanych konsekwencji.

Korzystając z teorii, pozwalającej na porównywanie liczby elementów zbiorów nieskończonych, można udowodnić, że każdy zbiór ma więcej podzbiorów niż elementów. Nie ma w tym nic dziwnego, dla zbiorów skończonych jest to oczywiste. Ale co ze zbiorem wszystkich zbiorów? Z jednej strony, ma więcej podzbiorów niż elementów, ponieważ jest to prawdą dla każdego zbioru. Z drugiej jednak, każdy jego podzbiór jest jednocześnie jego elementem- bo jest zbiorem. Wobec tego podzbiorów nie może być więcej. Jedynym wyjściem z tej sprzeczności jest stwierdzenie, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Jak mówi hymn matematyków2:

Oj, myślę sobie czasem, aże sam się śmieję.
Oj, czemuż to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje.
Oj, byłby to hałas spory, gdyby zebrać wszystkie zbiory.

Skoro nie wszystko, co mogłoby się zbiorem wydawać, jest nim naprawdę, to całą teorię trzeba jakoś uporządkować. Metoda jej porządkowania znana jest już od starożytności - należy wprowadzić aksjomaty (zwane też pewnikami). Są to zdania, o których zakładamy, że są prawdziwe i na ich podstawie dowodzimy twierdzeń. Możemy mówić, że coś jest zbiorem, tylko wtedy, gdy wynika to z aksjomatów.

Stefan Banach doczekał się w Warszawie nie tylko ulicy, ale i sklepu swojego imienia. Na Hali Banacha wisi tablica z napisem: Stefan Banach,1892--1945. Profesor Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie. Twórca działu matematyki zwanego analizą funkcjonalną. Legenda głosi, że pierwotnie chciano napisać: udowodnił naukowo, że możliwe jest rozmnoże nie chleba.

Fot. Archiwum

Z niektórymi aksjomatami nie było problemu. Nikt nie protestował przeciwko stwierdzeniu, że dwa zbiory można dodać, albo że istnieje zbiór pusty. Tylko o jednym, pewniku wyboru, zaczęto namiętnie dyskutować. Aksjomat ten mówi, że jeśli dana jest jakaś rodzina zbiorów (czyli zbiór zbiorów), to możemy z każdego zbioru tej rodziny wybrać po jednym elemencie i z tych wybranych elementów utworzyć nowy zbiór.

Co jednak w tym dziwnego? Wydawać by się mogło, że nie ma nic trudnego w wyborze elementów z kilku danych zbiorów. To prawda, dopóki jest ich rzeczywiście kilka. Weźmy jednak jakąś dużą nieskończoną rodzinę, na przykład rodzinę wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych. Jak teraz wybrać po jednym elemencie? Nie możemy tego robić dla każdego zbioru po kolei, ponieważ jest ich za dużo. Trudno też wymyślić jakiś ogólny przepis. Na przykład pomysł, aby zawsze wybierać ze zbioru największą liczbę, nie jest trafny; w wielu zbiorach tej największej liczby po prostu nie ma.

NIE WIADOMO JAK

W wielu sytuacjach pewnik wyboru pozwala nam udowodnić, że coś istnieje, ale nie daje możliwości wskazania przykładu. Napisałem, że istnieją zbiory niemierzalne. To istnienie wynika właśnie z pewnika wyboru. Nie ma jednak metody na znalezienie przykładu3. Nie tylko takiego, który dałoby się narysować, ale nawet takiego, który można by opisać skomplikowanym wzorem. Na co dzień spotykamy się z podobnymi sytuacjami; jeśli ktoś ukradł mi portfel, a ja go nie złapałem, to wprawdzie wiem, że złodziej istnieje, ale nie umiem go wskazać.

Mimo pewnych podobieństw sytuacja ze złodziejem jest jednak trochę prostsza: można by go bowiem znaleźć; gdybym na przykład był ostrożniejszy, mógłbym go złapać na gorącym uczynku. Natomiast zbioru niemierzalnego nie da się znaleźć z zasady. Czy możemy mówić, że coś istnieje, jeśli wiadomo, że nie da się znaleźć przykładu? Może więc lepiej odrzucić pewnik wyboru? W takiej właśnie sytuacji pojawiła się praca Banacha i Tarskiego. Przeciwnicy pewnika wyboru zyskali nowy argument: zobaczcie, jakie absurdalne wnioski wynikają z tego aksjomatu. Obecnie jednak większość matematyków korzysta z pewnika wyboru bez skrępowania. Przede wszystkim dlatego, że bez niego niewiele dałoby się w matematyce zrobić.

BEZ PEWNIKA ANI RUSZ

W szkole średniej pojawiają się (przynajmniej czasami) dwie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego. Dowodzi się, że są one równoważne. Jednak dowód oparty jest na pewniku wyboru (o czym w szkole się raczej nie wspomina). Co więcej, gdyby ten aksjomat odrzucić, dowodu nie dałoby się przeprowadzić. Mielibyśmy dwa różne pojęcia: ciągłość Cauchy'ego i ciągłość Heinego. Co gorsza, i tak nie dało by się podać przykładu funkcji, która jest ciągła tylko w sensie Cauchy'ego albo tylko w sensie Heinego. Znowu bylibyśmy w dziwnej sytuacji - twierdzenia nie da się udowodnić, ale nie
da się też znaleźć kontrprzykładu.

Czytelnikowi znającemu elementy wyższej matematyki można podać kolejne przykłady zastosowania pewnika wyboru. Bez niego nie dałoby się udowodnić, że każda przestrzeń wektorowa ma bazę, że każde ciało ma algebraiczne domknięcie, ani że każdy zbiór da się dobrze uporządkować (zaraz chłop się raźniej czuje, jak se zbiór uporządkuje - jak mówi wspomniany już hymn). Nie byłoby też lematu Kuratowskiego -Zorna, stosowanego w dowodach wielu twierdzeń.

Ryc. Krysp

Krótko mówiąc, bez pewnika wyboru niewiele można by w matematyce zrobić. Dlatego też matematycy korzystają z niego do woli. A co z paradoksem Banacha- Tarskiego? Po dłuższym namyśle można stwierdzić, że nie jest on aż tak paradoksalny.

NIE TAKI DIABEŁ STRASZNY

Dlaczego właściwie twierdzenie Banacha-Tarskiego wydaje się tak niezwykłe? Przede wszystkim dlatego, że nie zgadza się z intuicją. Nasza intuicja dotyczy jednak kul materialnych, a nie matematycznych. Słysząc o paradoksalnym rozkładzie kuli, chcielibyśmy stosować go do brył materii, najchętniej złota... Tymczasem możliwość takiego zastosowania wcale z pracy Banacha i Tarskiego nie wynika. I to z kilku powodów.
Jeden z nich wiąże się ze sprawą poruszaną już wcześniej.

 Fot. Archiwum

Alfred Tarski (1901--1983) zaczynał pracę w czasach, kiedy nie wiedziano jeszcze, że filozofowi nie wypada nie znać matematyki, a matematykowi -filozofii. Dzięki temu został wybitnym logikiem i znany jest wśród przedstawicieli obydwu tych dyscyplin

Udowodniono wprawdzie, że istnieje odpowiedni podział kuli, ale nie wiadomo - i nigdy nie będzie wiadomo - jak on wygląda. Gdyby jednak dało się znaleźć konkretny przykład takiego paradoksalnego podziału, to i tak nie można by go przeprowadzić w praktyce. Materia nie jest ciągła; składa się z atomów. Dlatego nie da się z niej wyciągnąć dowolnie skomplikowanego kształtu.

Z ciągłej materii nie dałoby się jednakże również wyciąć każdego kształtu. To, co możemy wykroić, to bryły ograniczone gładkimi lub kanciastymi powierzchniami. Takie bryły są zawsze mierzalne. Nawet gdybyśmy znali wzór opisujący jakiś zbiór niemierzalny, to i tak nie można by go wyciąć, podobnie jak nie da się wyciąć z materii pojedynczego punktu (choć doskonale wiemy, jak taki punkt wygląda).

Wreszcie ostatnia sprawa dotyczy różnicy w użyciu wyrażenia "podzielić kulę" w różnych dziedzinach matematyki. Wiadomo, co oznacza to wyraże nie w tradycyjnej geometrii. Na przykład można podzielić kulę płaszczyzną na dwie półkule. Natomiast w teorii zbiorów kula traktowana jest jako zbiór punktów i jej podział to znalezienie odpowiednich podzbiorów. Zwróćmy uwagę, że podział kul na dwie półkule nie jest podziałem na dwa rozłączne podzbiory w sensie teorii mnogości; do którego z podzbiorów miałaby należeć wspólna podstawa?

Dzielenie zbioru na podzbiory jest więc trochę czym innym niż podział figury w klasycznej geometrii, a już zupełnie czym
innym niż możliwość pocięcia fizycznego obiektu. W dodatku nie poznamy nawet przykładu podziału kuli w sensie teorii mnogości. Dlatego nie należy za bardzo przejmować się twierdzeniem Banacha-Tarskiego. Nie świadczy ono o możliwości cudownego rozmnażania kul. Jest tylko jeszcze jednym dowodem na to, że obiekty matematyczne są czym innym niż przedmioty materialne.

l Oryginalny dowód znajduje się w ich pracy Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes w piśmie "Fundamenta Mathematicae" 6(1924). Jasno napisany dowód można znaleźć też w książce T.J. Jecha, The Axiom of Choice, Amsterdam -London1973. Wymaga on znajomości teorii zbiorów na poziomie pierwszego roku studiów oraz pewnego pojęcia o teorii grup. Najbardziej zainteresowani matematyką Czytelnicy mogą spróbować do niego sięgnąć. Jasny szkic dowodu znajduje się także w książce P. Pierańskiego, Fraktale, Poznań 1992.

2 Śpiewany przez studentów matematyki na melodię piosenki Umarł Maciek, umarł i leży na desce...

3 Czytelnik, który spotkał się ze stwierdzeniem, że przykładem zbioru niemierzalnego jest zbiór Vitaliego, może być zdezorientowany. Vitali nie podał jednak naprawdę przykładu zbioru, a tylko pewien przepis pozwalający na jego znalezienie. Jeden z punktów tego przepisu brzmi: ...a teraz wybierzmy z każdego ze zbiorów określonej wcześniej rodziny po jednym elemencie.

MARCIN BRAUN jest matematykiem, pracuje w Gdańskim Wydawnictwie Oświatowym.