Twoja wyszukiwarka

KRZYSZTOF ERNST
MAGIA KALEJDOSKOPU
Wiedza i Życie nr 3/2000
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 3/2000

Kalejdoskop to zabawka znana od prawie 200 lat i wciąż bardzo popularna. Choć wydaje się nieco tajemniczy, do zrozumienia jego działania wystarczą spojrzenie w lustro i chwila zastanowienia.

Przeglądanie się w lustrze jest zwykłą, codzienną czynnością. Mogłoby się zatem wydawać, że lustrzany obraz nie kryje w sobie żadnej tajemnicy. Wiele osób zresztą sądzi, że zjawisko to jest zrozumiałe, a nawet oczywiste, mimo że nigdy głębiej się nad nim nie zastanawiało. Przekonanie to nie odpowiada prawdzie, na przykład kiedy mamy wyjaśnić, jak w płaskim zwierciadle powstaje obraz. Kłopoty z odpowiedzią pojawiają się nawet na jeszcze niższym szczeblu wtajemniczenia, sprowadzającym się do pytania: Dlaczego arkusz białego i gładkiego papieru nie tworzy takiego samego obrazu jak lustro? Nasze rozważania, mające na celu opis wspaniałych obrazów powstających w kalejdoskopie, zacznijmy więc od właśnie tego problemu.

Ryc. 1. Odbicie światła od zwierciadła (a) i rozproszenie światła na kartce papieru (b)

Przyjrzyjmy się małej żaróweczce O, umieszczonej przed zwierciadłem Z (ryc. 1a) i przed arkuszem papieru P (ryc. 1b). Każdy z promieni padających na zwierciadło odbity zostaje zgodnie z dobrze znaną wszystkim zasadą, że kąt odbicia równy jest kątowi padania. Jest to możliwe, ponieważ nierówności płaskiej powierzchni odbijającej nie przekraczają długości fali światła. Odbite promienie trafiają do oka obserwatora, który widzi obraz przedmiotu O' na przecięciu ich przedłużeń, zaznaczonych na rysunku linią przerywaną. Pomimo pozornej gładkości papieru, nierówności jego powierzchni są wielokrotnie większe od długości fali. Papier jest więc dla światła na tyle chropowaty, że zamiast odbijać je kierunkowo (lustrzanie), rozprasza padającą wiązkę we wszystkie strony. Do oka obserwatora docierają zatem promienie ze wszystkich punktów oświetlonej powierzchni. Jeśli jest ona w miarę jednorodna, widzi on po prostu równomiernie oświetlony arkusz papieru.

Jak będzie wyglądał obraz powstający w większej liczbie zwierciadeł? Możemy sobie na przykład wyobrazić pokój, w którym wszystkie ściany zostały wyłożone lustrami. W takim otoczeniu, gdziekolwiek spojrzeć, zobaczymy nieskończoną liczbę swoich obrazów, powstałych dzięki wielokrotnym odbiciom. Kiedyś w salach takich zamykano przestępców. Poddawano ich w ten sposób torturze nieustannego oglądania własnej postaci w nieskończonej liczbie egzemplarzy, i to niezależnie od ich woli. Ta pozornie niewinna, acz wyrafinowana, tortura ponoć doprowadzała każdego do szaleństwa.

Aby obejrzeć swoje własne odbicie w nieskończonej liczbie wydań, nie musimy wcale otaczać się lustrami ze wszystkich stron. Wystarczą dwa zwierciadła ustawione równolegle. Rozmywanie się obrazu w dalszym planie wynika stąd, że współczynnik odbicia zwierciadeł jest mniejszy niż 100% i przy każdym kolejnym odbiciu natężenie promieniowania maleje.

Ryc. 2. Dwa zwierciadła ustawione pod kątem prostym i uzyskane w nich obrazy

Ustawmy teraz dwa zwierciadła tak, by dotykały się krawędziami i tworzyły między sobą kąt, który może przyjmować dowolne wartości. Zacznijmy od kąta prostego (ryc. 2). Oprócz przedmiotu A pojawiają się w naszym polu widzenia trzy jego obrazy: B, C i D. Postać ustawionego między lustrami ludzika widzimy więc w czterech wydaniach. Obrazy B i C są po prostu odbiciami przedmiotu A w lustrach Z2 i Z1. Obraz D możemy natomiast uzyskać przez odbicie obrazu B w wirtualnym zwierciadle Z1', które jest obrazem zwierciadła Z1 powstałego w wyniku odbicia od zwierciadła Z2. Możemy równie dobrze uznać, że obraz D jest wynikiem odbicia obrazu C w wirtualnym zwierciadle Z2', będącym z kolei obrazem zwierciadła Z2 powstałym przez odbicie w zwierciadle Z1.

Opisując powstawanie obrazu, posłużyliśmy się pojęciem wirtualny - nierzeczywisty. Jest ono bardzo wygodne i dlatego bywa często stosowane w fizyce. W naszym przypadku dotyczy zwierciadeł, ale może odnosić się także do różnego rodzaju pojęć i zjawisk. Zwierciadła Z1' i Z2' są zwierciadłami wirtualnymi, ponieważ w rzeczywistości nie istnieją, ale przyjęcie ich istnienia znakomicie upraszcza nam wyjaśnienie powstawania obrazu. Przekonamy się o tym przy obrazach bardziej złożonych. Dzieje się to oczywiście bez żadnego uszczerbku dla prawidłowości końcowego wyniku.

Ryc. 3. Kośc domina ustawiona pomiędzy zwierciadłami tworzącymi kąt 60° (a) i układ zwierciadeł wirtualnych odpowiadających tej sytuacji (b)

Zmodyfikujmy teraz poprzednią konfigurację i zmniejszmy kąt między zwierciadłami tak, aby wynosił 60°. Postawmy między nimi kamień domina. Obraz, jaki ujrzymy, przedstawiono na ryc. 3a. Moglibyśmy też pokusić się o skonstruowanie utworzonego w takim układzie obrazu. Musimy odwołać się, podobnie jak poprzednio, do odbić w wirtualnych zwierciadłach. Wynik naszej operacji, tym razem widziany z góry, zobrazowano na ryc. 3b.

Warto zauważyć, że zwierciadła wirtualne Z1' i Z2' powstały w wyniku odbić w zwierciadłach rzeczywistych Z2 i Z1, natomiast Z1" i Z2" są zwierciadłami wirtualnymi powstałymi przez odbicie w zwierciadłach wirtualnych Z2' i Z1'. Wszystkie one, łącznie ze zwierciadłami rzeczywistymi Z1 i Z2, dzielą pole widzenia na sześć sektorów stanowiących wycinki koła, a każdy z nich zawiera odpowiednio ułożony jeden kamień domina.

Do powyższej konfiguracji jeszcze wrócimy, ale zastanówmy się najpierw, jak będzie zmieniał się obserwowany obraz przy dalszym zmniejszaniu kąta między lustrami. Układ, którym się posługujemy, jest tak prosty, że każdy może te zmiany prześledzić. Po wykonaniu doświadczeniu proponujemy porównać swoje obserwacje z wynikami przedstawionymi w ramce Obraz w dwóch lustrach.

Obraz w kalejdoskopoe

Opisując obraz powstający w ustawionych pod pewnym kątem do siebie zwierciadłach, przedstawiliśmy równocześnie najprostszy model kalejdoskopu. Podstawowymi jego elementami są najczęściej dwa lustra nachylone w stosunku do siebie pod kątem 60°. W takim właśnie układzie widzieliśmy, patrząc wzdłuż zwierciadeł, sześć kamieni domina (jeden rzeczywisty i pięć jego obrazów). Wszystkie leżały w płaszczyźnie przedmiotu, prostopadłej do płaszczyzny luster. I to był właśnie typowy efekt kalejdoskopowy. Prezentował się on bardzo skromnie, jako że pojedynczy kamień domina nie jest atrakcyjnym obiektem do powielania i nie daje się przekształcić w wielobarwny i wzorzysty obraz kalejdoskopowy.

Aby otrzymać prawdziwy kalejdoskop, musimy nasz układ luster wzbogacić o dodatkowe elementy i odpowiednio je ze sobą połączyć. Jedna z najprostszych konstrukcji wygląda jak na ryc. 4. Jej samodzielne wykonanie jest niezwykle proste. Przyklejamy połączone ze sobą pod kątem 60° zwierciadła do układu dwóch przezroczystych płytek (P1 i P2) przedzielonych pierścieniem dystansowym (D). W typowym układzie kalejdoskopu zewnętrzna płytka jest matowa, a przestrzeń między płytkami wypełniona małymi, kolorowymi szkiełkami o różnorodnych kształtach. Wszystko to otacza zewnętrzna, kartonowa lub plastikowa rura zamknięta od góry pokrywką z wyciętym otworem.

Ryc. 4. Konstrukcja najprostszego kalejdoskopu. Przekrój kalejdoskopu ilustruje również kolorowa rycina na początku artykułu

Patrząc przez otwór, najlepiej pod światło, widzimy sześciokrotnie powielony obrazek ułożony ze szkiełek znajdujących się w obrębie trójkąta ABC. Konstrukcja obrazu jest dokładnie taka sama jak w przypadku opisanej wcześniej konstrukcji obrazu kamienia domina. Duża gęstość powielanych elementów i różnorodność ich barw stwarzają możliwość podziwiania pięknych kolorystycznie i symetrycznie rozbudowanych wzorów. Zabawa na tym się nie kończy, bowiem obracanie kalejdoskopu powoduje przemieszczanie się szkiełek, a w konsekwencji efektowne transformacje obserwowanych obrazów.

Opisany przez nas kalejdoskop, złożony z dwóch luster i wypełniony kolorowymi szkiełkami, można nazwać modelem standardowym. Taka też w przybliżeniu wersja została zaprezentowana w 1816 roku przez brytyjskiego fizyka Davida Brewstera, którego uważa się za twórcę tej popularnej zabawki.

Warto jednak zaznaczyć, że współczesna fizyka zawdzięcza Brewsterowi znacznie więcej niż zbudowanie kalejdoskopu. Jego badania nad polaryzacją światła miały na tyle duże zna- czenie w rozwoju optyki, że zostały upamiętnione wprowadzeniem powszechnie dziś stosowanych terminów, takich jak kąt Brewstera czy okienka brewsterowskie. Te ostatnie są podstawowym elementem rezonatorów w niektórych typach laserów.

Istnieją oczywiście kalejdoskopy bardziej złożone i znacznie efektowniejsze niż opisany powyżej. Zainteresowanych czytelników odsyłam do mojej książki o fizyce zabawek, która ukaże się w tym roku nakładem wydawnictwa Prószyński i S-ka.

Kiedy następnym razem oglądać będziemy wspaniałe obrazy w kalejdoskopie albo pokazywać je dzieciom, czysto estetyczne doznania wzrokowe będziemy mogli wzbogacić interesującym i kształcącym komentarzem. Zabawa i przyjemność nie powinny na tym ucierpieć.

Obraz w dwóch lustrach

Liczba obrazów umieszczonego pomiędzy lustrami przedmiotu rośnie wraz ze zmniejszaniem kąta między nimi. Nie będziemy szczegółowo analizować tego zagadnienia dla wszystkich możliwych konfiguracji, podamy jedynie wzór na liczbę obrazów N w funkcji kąta a przez te zwierciadła utworzonego. Ma on postać N = (360°/) - 1.

Wzór ten obowiązuje jednakże tylko dla kątów a będących podwielokrotnością 180°. Tylko dla takich wartości a liczba obrazów nie zależy ponadto od położenia przedmiotu. Dla kąta a nie spełniającego powyższego warunku teoria zagadnienia jest bardziej skomplikowana. Przykładowo, dla = 120° obserwuje się dwa lub trzy obrazy w zależności od tego, czy przedmiot znajduje się na dwusiecznej kąta między zwierciadłami, czy położony jest poza nią.

Rozważane przez nas przypadki spełniają warunek narzucony na kąt a i liczba powstałych obrazów, trzy dla = 90° i pięć dla = 60°, jest zgodna z wynikiem otrzymanym z wzoru. W pierwszym przypadku widzieliśmy wprawdzie czterech ludzików, a w drugim sześć kamieni domina, ale w obu przypadkach do liczby obrazów dodać oczywiście musimy widoczny na pierwszym planie przedmiot.

Prof. dr hab. KRZYSZTOF ERNST pracuje w Instytucie Fizyki Doświadczalnej UW.