Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
GALERIA KRZYWYCH - OWAL CASSINIEGO
Wiedza i Życie nr 5/2000
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 5/2000

Każdy wie, jak wyglądają koło, elipsa, parabola. Matematycy znają jednak całe mnóstwo ciekawych i niekiedy bardzo pięknych krzywych. Warto je poznać.

Rysunek zamieszczony obok przedstawia rodzinę krzywych płaskich czwartego stopnia, noszących nazwę owali Cassiniego. Charakteryzują się one tym, że iloczyn odległości dowolnego ich punktu od dwóch ustalonych punktów, zwanych ogniskami, jest wielkością stałą (przypomnijmy sobie, że z dość podobną sytuacją mamy do czynienia w wypadku elipsy; tyle że przy elipsie chodzi o sumę, nie iloczyn).

Jeżeli odległość między ogniskami (oznaczonymi na rysunku jako niebieskie punkty) wynosi 2a, wspomniany zaś wyżej stały iloczyn b2, to dla a > b mamy do czynienia z krzywą rozpadającą się na dwie niespójne części, dla a < b krzywa stanowi jedną całość. Przypadek, w którym a = b, daje nam szczególną krzywą o nazwie lemniskata Bernoulliego.

Owale Cassiniego otrzymamy także jako przecięcia torusa (to taka bryła przypominająca dętkę samochodową, powstająca przez obrót okręgu wokół nie przechodzącej przez niego prostej, zwanej osią torusa) pewnymi równoległymi do jego osi płaszczyznami, jak to widać na rysunkach 2 i 3. Jeżeli b - a jest odległością obracanego dla utworzenia torusa okręgu o promieniu a, to dla b = 2a otrzymujemy wspomnianą lemniskatę Bernoulliego. Zauważmy, że nie każde przecięcie torusa płaszczyzną prowadzi do uzyskania owalu Cassiniego.

Równania owali Cassiniego:

  • kartezjańskie: ((x a)2 + y2) ((x + a)2 + y2) = b4,
  • biegunowe: r4 + a4 - 2r2 a2 cos(2 ) = b4.

Kim był Cassini?

Giovanni Domenico Cassini urodził się 8 czerwca 1625 roku w miejscowości Perinaldo niedaleko Nicei. Zmarł w Paryżu 14 września 1712 roku.

Był francuskim astronomem, geodetą i kartografem. W 1650 roku został dyrektorem Obserwatorium Paryskiego. Był również członkiem Paryskiej Akademii Nauk (od 1669 roku). Odkrył obrót Jowisza (1665) i Marsa (1666), cztery księżyce Saturna oraz elementy struktury pierścienia wokół Saturna (nazwane przerwą Cassiniego). Omawianymi owalami zajmował się w trakcie prób opisania orbity Ziemi.