Twoja wyszukiwarka

ANDRZEJ SITARZ
TWIERDZENIA ZA 7 MILIONÓW DOLARÓW!
Wiedza i Życie nr 11/2000
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 11/2000

Niedawno wyznaczono milion dolarów nagrody za rozstrzygnięcie słynnego problemu matematycznego, zwanego "hipotezą Goldbacha". I oto następne 7 milionów"do wzięcia"...

Rok 2000 to nie tylko ostatni rok XX wieku - okazja do świętowania, jubileuszy i podsumowań. Tak się również złożyło, iż rok 2000 jest Światowym Rokiem Matematyki (co Międzynarodowa Unia Matematyki ogłosiła w 1992 roku) z trzema zasadniczymi celami: przedstawieniem wielkich wyzwań XXI wieku, ukazaniem matematyki jako kluczowego czynnika rozwoju cywilizacji oraz pokazaniem obrazu współczesnej matematyki.

Nie jest to zapewne przypadek - miniony wiek był zaiste wiekiem matematyki, która z abstrakcyjnej nauki stała się również cenionym narzędziem fizyków, inżynierów, biologów, ekonomistów i informatyków. Pewne jej gałęzie, które niegdyś wydawały się zupełnie oderwane od jakiegokolwiek praktycznego zastosowania, okazały się niezwykle przydatne (jak na przykład teoria liczb, której znaczenia dla kryptografii i rozwoju transakcji internetowych nie sposób już nie docenić).

To stulecie matematyki zostało niejako zainaugurowane w 1900 roku w Paryżu, gdy podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków słynny uczony niemiecki Dawid Hilbert przedstawił w swoim wystąpieniu 23 nie rozwiązane problemy matematyczne - problemy, które miały wytyczyć ramy matematyki XX wieku. I tak się w zasadzie stało.

Większość z tych problemów została już rozwiązana. Oczywiście, są też wyjątki: problemy, co do których trudno sobie nawet wyobrazić, by zostały w ogóle kiedykolwiek rozstrzygnięte, czy też na tyle trudne, że do dziś rozwiązania nie znaleziono.

Czyż można było oczekiwać, że rok 2000 - Rok Matematyki - minie bez podobnej uroczystości: podsumowania i zarazem ogłoszenia programu na przyszłe stulecie? Jasne, że nie, pomysł narzucał się sam. Niewykluczone, iż będzie znacznie więcej takich deklaracji i list nie rozwiązanych problemów, jak niżej opisane - jednak wydaje się, iż wydarzenie, jakie nastąpiło w maju bieżącego roku, przejdzie do historii - podobnie jak wystąpienie Hilberta w 1900 roku. Choćby dlatego, że było pierwsze...

Już sam wybór miejsca nawiązywał do tamtych wydarzeń, uroczystość odbyła się w Collge de France, w Paryżu. Tym razem jednak organizatorem był Clay Mathematics Institute - prywatny instytut matematyczny z Massachusetts w USA, założony i sponsorowany przez amerykańskiego biznesmena Landona T. Claya. On też ufundował nagrody za rozwiązanie przedstawionych nowych siedmiu problemów matematycznych - po milionie dolarów za każdy, zaiste godnych "nazwy problemów nagrody tysiąclecia": Millenium Prize Problems.

Wysokość nagrody odpowiada chyba skali trudności problemów. Oczywiście, nie są to nowe zagadnienia, a specjaliści spędzili nad nimi już wystarczająco wiele czasu, by przekonać się, iż stanowią trudny orzech do zgryzienia. Ale fakt, że są to problemy skrajnie trudne, przyciąga wielu matematyków, dla których niewątpliwie stanowią wielkie wyzwanie. Jednak okoliczność ta również zniechęca. Dziś, gdy młodzi naukowcy muszą przenosić się z jednego "postdoka" (żargonowo: staż po uzyskaniu stopnia doktorskiego) na drugi i szukać stałej posady, główne kryterium ich oceny to po prostu liczba opublikowanych prac. A to praktycznie uniemożliwia zajęcie się jakimś problemem większym i trudniejszym, którego studiowanie wymaga nie miesięcy, a całych lat czy może dziesięcioleci!

Starsi naukowcy, bardziej doświadczeni, też nie mogą sobie pozwolić na taki komfort: odpowiadając za swe grupy oraz młodszych kolegów (a co za tym idzie - za uzyskiwanie odpowiednich grantów!), chcąc nie chcąc, również bez entuzjazmu atakują ambitne a trudne i odległe cele. Nagrody Clay Mathematics Institute są wyraźnym sygnałem, iż rozwój matematyki (a chyba i większości dziedzin współczesnej nauki) nie powinien iść tą drogą. Mówią one, iż warto skoncentrować się na trudniejszych, choć nie będących może w zasięgu ręki problemach. Warto - dosłownym sensie tego słowa.

Co to więc za problemy? Jest wśród nich jeden z najsłynniejszych, nie rozwiązany do dziś problem, postawiony równo sto lat temu: Hipoteza Riemanna. Inne są związane z geometrią, fizyką matematyczną, teorią liczb; jest też jeden problem informatyczny. Oto one.

Hipoteza Riemanna

Liczb pierwszych (takich, których dzielnikami są wyłącznie 1 i sama ta liczba) jest nieskończenie wiele, co wiemy zapewne jeszcze ze szkoły. Czy istnieją jednak jakieś regularności w ich rozłożeniu? Okazuje się, że tak. Z częstością występowania liczb pierwszych ściśle związana jest pewna funkcja (z), zwana funkcją zeta Riemanna od nazwiska matematyka, który ją wprowadził. Otóż hipoteza mówi, że wszystkie interesujące zera tej funkcji (tzn. liczby zespolone takie, że (z) = 0) leżą na pewnej prostej. Sprawdzono już numerycznie ponad 1 500 000 000 takich miejsc - wszystkie mają tę właściwość. Dowodu (ani kontrprzykładu) nadal jednak nie ma...

Równania Naviera-Stokesa

Spokojny i gwałtowny przepływ wody, wiry w wodzie, turbulencje, wiatr i tornada - wydaje się, że wszystkie te efekty są opisywane przez równania Naviera-Stokesa. Choć zapisano je już w XIX wieku - do dziś mało o nich wiemy. Problem sformułowany na XXI wiek dotyczy rozwiązań tych równań - rozstrzygnięcia ich istnienia bądź znalezienia kontrprzykładu dla dowolnego czasu.

Hipoteza Poincarégo

Jeśli na powierzchni piłki umieścimy elastyczną zamkniętą pętlę, to bez większego trudu potrafimy ją ścieśnić do punktu, nie rozrywając jej ani nie opuszczając powierzchni kuli. Coś takiego nie jest możliwe, gdy zamiast powierzchni piłki weźmiemy dętkę - w tym wypadku zawijając odpowiednio naszą pętlę, już nie możemy jej ścieśnić do punktu. Okazuje się, że taka własność "ścieśniania" pętli wystarczająco charakteryzuje powierzchnię piłki (mówiąc "matematycznie", sferę dwuwymiarową); innymi słowy, jeśli każdą pętlę na dwuwymiarowej powierzchni potrafimy ściągnąć do punktu - powierzchnia ta musi być sferą! Hipoteza Poincarégo orzeka to samo - ale dla sfery trójwymiarowej: zdaniem genialnego matematyka francuskiego, analogiczna własność charakteryzuje ją tak samo, jak w wypadku dwuwymiarowym.

P czy NP?

Niektóre problemy matematyczne i logiczne da się szybko rozwiązać przy użyciu komputerów - i stanowią one klasę problemów, z którą idealny komputer daje sobie radę w czasie będącym wielomianową funkcją zadanych mu parametrów (należą do tej klasy choćby układy równań liniowych czy problemy znajdowania najkrótszej drogi). Istnieją jednak zagadnienia, których rozwiązania znamy, ale nie są to rozwiązania równie "szybkie", jak w wypadku poprzednim. Czy da się wszystkie podobne problemy (zgrupowane w pewnej klasie, oznaczonej jako NP) rozwiązać szybciej? Czy też istnieją takie, których analizy nie da się już przyspieszyć w żaden sposób? Pytanie ciekawe i szalenie istotne z praktycznego punktu widzenia, bowiem problemy te związane są z kryptografią (łamaniem kodów), kolorowaniem map czy układaniem harmonogramów.

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera

Problem znajdowania rozwiązań w liczbach całkowitych (czy ułamkowych) prostych równań (np. typu x2 + y2 = z2) fascynował matematyków już od dawna, jest on jednak ogromnie trudny. Jeden z problemów Hilberta (nr 10) - dotyczący znalezienia ogólnej metody rozwiązywania takich równań - okazał się wręcz (co oczywiście udowodniono) nierozwiązywalny! W pewnych szczególnych wypadkach coś da się jednak powiedzieć. Omawiana hipoteza łączy liczbę rozwiązań w liczbach wymiernych danego równania (ułamkowych) z zachowaniem pewnej funkcji. Gdy jej wartość w punkcie 1 wynosi 0, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych, gdy jest różna od zera - liczba rozwiązań jest skończona. Czy to prawda?

Teoria Yanga-Millsa

Teorie Yanga-Millsa, opisujące model matematyczny cząstek elementarnych i ich oddziaływań, są doskonale przetestowane i stanowią podstawę współczesnej teorii pola. Nie wszystkie jednak problemy z tej dziedziny udaje się opisać równie konsekwentnie - jak choćby fenomen "uwięzienia" kwarków (kwarków nie można zaobserwować pojedynczo, jedynie w cząstkach, które składają się z trzech kwarków lub pary kwark-antykwark). Postawiony problem dotyczy znalezienia w kwantowej teorii oddziaływań Yanga-Millsa, satysfakcjonujących z matematycznego punktu widzenia rozwiązań wyjaśniających ten fenomen.

Hipoteza Hodge'a

Badając kształty różnych obiektów (jak powierzchnia piłki, czy dętka), matematyka rozwinęła zaawansowane techniki usiłujące stwierdzić, czy kształt obiektów wielowymiarowych można przybliżać konstrukcjami z prostych obiektów o niższej liczbie wymiarów. Uogólnienia tego typu poszły jeszcze dalej, zatracając niemal całkowicie początkowy związek z geometrią i obiektami geometrycznymi. Hipoteza Hodge'a sugeruje, iż dla niektórych specjalnych obiektów pewne konstrukcje algebraiczne są ściśle związane z określonymi tworami geometrycznymi.

Kiedy możemy liczyć na pierwsze rozstrzygnięcia i pierwsze nagrody? Nie wcześniej niż za cztery lata - regulamin przewiduje, iż nagroda może zostać wypłacona najwcześniej 2 lata po opublikowaniu rozstrzygnięcia w poważnym czasopiśmie matematycznym - ten proces, zwłaszcza w przypadku ważkich zagadnień, zajmuje sporo czasu.

Więcej...

Informacje o problemach Hilberta, Clay Mathematical Institute, problemach milenijnych i Światowym Roku Matematycznym można znaleźć w Internecie na witrynach: www.claymath.org/prize_problems, www.gc.cc.fl.us/leolusk/hilberts.htmmathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html.

Z okazji ustanowienia roku 2000 Światowym Rokiem Matematycznym ogłoszono konkurs na plakaty popularyzujące matematykę i jej znaczenie. Pokłosie konkursu znajduje się na witrynie internetowej: http://wmy2000.math.jussieu.fr

Jeśli ktoś z naszych Czytelników zechce zapoznać się bliżej ze ścisłymi sformułowaniami postawionych problemów - najłatwiej zrobić to, łącząc się z adresem www.claymath.org. Każde z wymienionych siedmiu zagadnień jest tam szczegółowo i precyzyjnie opisane (oczywiście, w języku matematyki!) przez jakiś wielki autorytet w danej dziedzinie. Zainteresowani znajdą tam także regulamin konkursu; mówiąc pokrótce i z grubsza, aby stanąć do zawodów, trzeba najpierw opublikować rozwiązanie danego problemu w profesjonalnym piśmie matematycznym o światowej renomie, następnie czekać dwa lata od daty publikacji na ewentualną krytykę czy obalenie przedstawionego rozumowania. Dopiero potem Rada Konsultacyjna Instytutu Claya (Alain Connes, Arthur Jaffe, Andrew Wiles i Edward Witten) podejmie ostateczną i nie podlegającą dyskusji decyzję o przyznaniu nagrody.

Clay Mathematics Institute (CMI)

jest organizacją prywatną, nie nastawioną na dochód (non-profit), mającą na celu rozwijanie i upowszechnianie wiedzy matematycznej. Założony został przez przedsiębiorcę z Bostonu, multimilionera Landona T. Claya, wielkiego miłośnika matematyki, który tak oto określił swoje poglądy na tę dziedzinę nauki:

Matematyka jest kwintesencją wiedzy ludzkiej; znajduje się ona u podstaw każdego naszego działania; jej rozwój odbywa się dziś drogami niezwykle głębokich i trudnych rozumowań. A przy tym postępy matematyki są tożsame z postępem we wszelkich innych dziedzinach nauki i techniki. Jej zastosowania wspierają nasze codzienne życie, wpływają na ludzkie zdrowie i bezpieczeństwo, na całą naszą pomyślność. Rozwój matematyki nadal będzie kluczową sprawą w kształtowaniu jutra naszego świata, zaś docenienie znaczenia prawdy matematycznej pozostanie największym wyzwaniem dla ludzkiego umysłu.

CMI organizuje i finansuje warsztaty badawcze, spotkania, kursy i konferencje matematyczne dla uczonych z całego świata. Oferuje także matematykom kontrakty na prowadzenie badań w wybranych dziedzinach. Przyznaje również doroczne nagrody; pierwszym laureatem takiej nagrody był w ub.r. sam Andrew Wiles, słynny matematyk angielski, któremu udało się dowieść głośnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. W krótkim czasie ta nowa instytucja zdobyła sobie światową renomę, stając się jednym z ważniejszych centrów naukowych świata.

Autor jest fizykiem matematycznym (ukończył i studia fizyczne, i matematyczne; doktorat uzyskał z fizyki teoretycznej) i zajmuje się tzw. geometrią niekomutatywną. Pracuje w Instytucie Fizyki UJ (Kraków).