Twoja wyszukiwarka

JAN GAJ
LABORATORIUM WIEDZY I ŻYCIA - TAŃCZĄCE WAHADŁA
Wiedza i Życie nr 4/2001
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 4/2001

  • Sprawdź Galileusza
  • Co to jest rezonans?
  • Czy wahadła mogą oddychać?

Zapraszam do eksperymentowania - to zupełnie inny rodzaj przyjemności niż przeczytanie o czymś, co zrobił ktoś inny.

Jedno wahadło: czy Galileusz się mylił?

Już ponad 400 lat minęło od czasu, kiedy młody Galileusz obserwował w katedrze w Pizie wahające się kandelabry. Jak przystało na poważnego eksperymentatora, nie poprzestał na obserwacji, lecz wykonał pomiary okresu wahań, posługując się własnym pulsem jako zegarem. Od tego czasu uważa się powszechnie, że wahadło, którym dla fizyka może być niemal każdy odpowiednio zawieszony przedmiot, wykonuje w dużym przybliżeniu proste drgania zawsze o tej samej częstości (niezależnie od amplitudy). Można samemu się przekonać, w jakim stopniu ta konkluzja młodego Galileusza jest uzasadniona.

Najprostszym wahadłem, jakie przychodzi mi do głowy, jest ciężarek zawieszony na nitce. Odchylając go z położenia równowagi i puszczając, możemy wywołać drgania o różnych amplitudach, a posługując się stoperem - zmierzyć okres wahań i sprawdzić znalezioną przez Galileusza prawidłowość, zwaną izochronizmem wahadła. Rada praktyczna: aby uzyskać dokładniejszy wynik, warto mierzyć więcej, na przykład 10 okresów; jako początek i koniec liczenia czasu warto wybrać przejście przez położenie równowagi1. Jeżeli komuś takie wahadło nie wystarcza, ponieważ chce stosować amplitudy kątowe większe niż 90°, niezłym rozwiązaniem jest badanie wahań koła rowerowego wokół jego własnej osi. Zwolennicy przeżyć wirtualnych mogą całe takie doświadczenie wykonać w internetowym świecie ułudy, łącząc się z witryną http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/index.html znajdą tam nawet stoper do mierzenia czasu. Zaletą internetowego wahadła jest kompletny brak tłumienia, a wadą wiadomo wirtualność. Jakiejkolwiek metody użyjesz, staniesz się sędzią w nowym procesie Galileusza2. Życzę obiektywizmu opartego na rzetelnych wynikach doświadczalnych!

Dwa wahadła: rezonans czy dudnienia?

Zupełnie inaczej porusza się wahadło sprzężone z drugim o tym samym okresie wahań. Można się o tym przekonać, zawieszając dwa ciężarki na odpowiednio powiązanych sznurkach (ryc. 1).

Ryc. 1. Dwa wahadła sprzężone

Wychylając jedno z wahadeł i puszczając je, zaobserwujemy, że amplituda jego wahań będzie stopniowo się zmniejszać, aż wreszcie wahadło się zatrzyma. W tym czasie drugie będzie zwiększało amplitudę wahań od zera do maksymalnej wartości. Następnie proces zacznie przebiegać w przeciwnym kierunku aż do zatrzymania się drugiego wahadła, i tak dalej. Ruch obu wahadeł przedstawia wykres na ryc. 2.

Ryc. 2. Wykres ruchu dwóch wahadeł sprzężonych

Zazwyczaj tłumaczy się to zjawisko rezonansem: ruch obu wahadeł jest sprzężony, jedno pobudza do drgania drugie, a ponieważ ich częstości są zgodne, pobudzanie jest skuteczne. Wahadła przekazują sobie tam i z powrotem energię drgań i wszystko jest wyjaśnione. Kłopot w tym, że trudno przewidzieć, po jakim czasie nastąpi pełne przekazanie energii. Jednak powyższe wytłumaczenie ruchu tego układu wahadeł nie jest jedyne. Można przecież zapytać: "A gdyby dostrzec w tym ruchu dudnienia?". Jak wiadomo, znane w akustyce zjawisko dudnień polega na okresowym narastaniu i opadaniu amplitudy drgań dźwiękowych, i występuje przy dodawaniu się dwóch tonów o nieznacznie różniących się częstościach. Usłyszymy dudnienia, uderzając w klawisze pianina, jeżeli dwie pobudzane struny nie są dobrze zestrojone. To samo tylko wolniej obserwujemy w przypadku naszych wahadeł. Jakie częstości się tu dodają? Doświadczalnie możemy to zrobić, na przykład wychylając oba wahadła jednocześnie w przeciwnych kierunkach i puszczając. Zobaczymy, że tym razem zaobserwujemy proste drgania obu wahadeł, o amplitudzie nie zmieniającej się w czasie, jeśli nie liczyć nieuniknionego tłumienia. Na wykresie będzie to wyglądało tak jak na ryc. 3.

Ryc. 3. Wykres ruchu dwóch wahadeł sprzężonych pobudzonych przeciwnie

Taki ruch układu nosi nazwę modu normalnego. Łatwo zgadnąć, że nasz układ ma jeszcze jeden mod normalny, w którym drgania obu wahadeł będą zgodne w fazie. Oczywiście, aby go pobudzić, trzeba wahadła wychylić w tę samą stronę. Będą się wtedy wahać jak na ryc. 4.

Ryc. 4. Wykres ruchu dwóch wahadeł sprzężonych pobudzonych w zgodnych fazach

Pora na zasadniczy test koncepcji dudnień: sprawdzimy, czy częstości dwóch modów normalnych rzeczywiście się różnią. Tak samo, jak dla pojedynczego wahadła, można wyznaczyć okresy drgań obu modów normalnych. Ich odwrotności to częstości tych drgań. Która z nich jest większa i dlaczego? Można je porównać z częstością dudnień, pamiętając, że okres dudnień to podwojony czas między dwoma kolejnymi zatrzymaniami wahadła (przy zatrzymaniu następuje zmiana fazy na przeciwną). Prosta teoria przewiduje, że częstość dudnień równa się połowie różnicy częstości obu drgań prostych. A Tobie co wyszło?

Więcej wahadeł: rola symetrii

Łatwo zauważyć, że nasz układ dwóch wahadeł ma płaszczyznę symetrii: jedno z wahadeł odbite w niej przechodzi w drugie. Pierwszy z rozważanych modów normalnych (który można wdzięcznie nazywać modem oddychającym) tę symetrię zachowuje przechodzi w siebie po odbiciu w tej płaszczyźnie. Drugi (wychylenia zgodne w fazie) już nie po odbiciu wychylenia zmieniają się na przeciwne. W obu przypadkach formę modu wiąże prosta relacja z symetrią układu: drganie po zastosowaniu operacji symetrii (odbicia) przechodzi w siebie lub zmienia fazę na przeciwną. Te proste właściwości stają się znacznie ciekawsze w przypadku układów bardziej złożonych. Rozważmy dla przykładu układ czterech sprzężonych wahadeł zawieszonych w narożach poziomego kwadratu3, przedstawiony na ryc. 5.

Ryc. 5. Układ czterech wahadeł sprzężonych zawieszonych w narożach poziomego kwadratu

Symetria jego jest znacznie ciekawsza. Wśród operacji symetrii mamy dwa obroty o 90° w prawo i w lewo wokół pionowej osi przechodzącej przez środek kwadratu, obrót o 180° wokół tej osi oraz kilka odbić względem pionowych płaszczyzn zawierających tę oś. Jeżeli wprawimy w ruch jedno z wahadeł, nie zaobserwujemy prostego drgania: ruch wahadła zacznie przenosić się na pozostałe w sposób, w którym trudno się będzie dopatrzyć czegokolwiek poza bałaganem. Trzeba więc znów szukać modów normalnych. Łatwo zgadnąć, że jednym z nich będzie mod oddychający, w którym wahadła wychylają się symetrycznie na wszystkie strony. A jakie będą inne mody normalne? Tę najciekawszą część chciałbym zostawić Czytelnikom do zbadania. Powodzenia!

1 W tę samą stronę; pamiętamy, że w ciągu okresu wahadło dwukrotnie przechodzi przez położenie równowagi.
2 Za życia Galileusz był sądzony przez Inkwizycję pod zarzutem propagowania teorii Kopernika, uważanej w tamtych czasach za sprzeczną z przekazem Biblii.
3 Wykonanie takiego układu wymaga sporej staranności. Oprócz dokładnie równej długości wszystkich wahadeł ważne jest, aby punkty ich zawieszenia stanowiły naroża kwadratu, co sprawdzamy, mierząc dokładnie odległości między sąsiednimi wahadłami oraz w obie strony po przekątnej. Odcinki nitki sprzęgającej sąsiednie wahadła powinny być trochę krótsze od boków tego kwadratu i umieszczone dokładnie na tej samej wysokości. Każde znaczące odstępstwo od tych wymagań zaburza symetrię układu i może istotnie zmienić wyniki doświadczeń.

Prof. dr hab. JAN GAJ pracuje w Instytucie Fizyki Doświadczalnej Uniwersytetu Warszawskiego.