Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
FIGURY NIEMOŻLIWE
Wiedza i Życie nr 8/2001
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 8/2001

Obraz kłamie wzrokowi, a wzrok myślom kłamie...

Oczywiście - Mickiewicz napisał inaczej, nie mam jednak wątpliwości, że myśląc o jednym z barwniejszych działów matematyki rozrywkowej, jakim jest badanie "figur niemożliwych" i złudzeń optycznych, Wieszcz mógłby użyć takiego sformułowania. To zaś, że Poeta mógł zajmować się czymś takim jak rozrywki matematyczne, jest pewne: w końcu - o czym tzw. humaniści lubią zapominać - z wykształcenia był... matematykiem.

Ryc. 1. Spróbujcie odpowiedzieć na pytanie: czy widoczne tu linie poziome są równoległe, czy nie?

Użyłem słów "dział matematyki", ale proszę nie spodziewać się sformalizowanej teorii. Cały ów "dział" to kilka czy kilkadziesiąt dziwnych obiektów geometrycznych, których zaskakująca percepcja powinna należeć bardziej do obszaru zainteresowań psychologa niż matematyka.

Ryc. 2. Patrząc tylko na cień, nie sposób jednoznacznie określić kształtu krzywej

Zacznijmy od dość oczywistego spostrzeżenia: możemy przyjąć, że żyjemy w świecie trójwymiarowym - to jest takim, w którym położenie każdego punktu da się opisać trzema liczbami.

Ryc. 3. Tu nie tylko trójząb jest niemożliwy, ale i rama, a także nakrętki...

Od niepamiętnych czasów artyści, ale i matematycy, usiłowali oddać trójwymiarową przestrzeń na płaskim rysunku. Usiłowania te zrodziły dwie bardzo ważne i niełatwe dyscypliny matematyczne: geometrię rzutową, związaną z zagadnieniami perspektywy malarskiej, i geometrię wykreślną, czyli teorię Monge'a, związaną bardziej z problemami rysunków inżynierskich. Zresztą nawet w wypadku odwzorowywania obiektów płaskich czy liniowych możemy mieć pewne kłopoty.

Ryc. 4. Są tu spirale, czy ich nie ma?

Przegląd niezwykłych obiektów, które powstają przy takich okazjach, zacznijmy od rysunku przedstawiającego - co takiego? Czyżby zwykły sześcian? Widać go powyżej, artysta tylko nieznacznie ów sześcian przetworzył, żeby był ładniejszy.

Ryc. 5. Oto geometryczny "dowód", że 64 = 65

Najsłynniejszym artystą, wykorzystującym z powodzeniem w swej twórczości niejednoznaczność rzutu perspektywicznego, był Maurits Cornelis Escher. Ten żyjący w latach 1898-1972 grafik holenderski chętnie sięgał po motyw "figur niemożliwych" i uzyskiwał dzięki temu ciekawe efekty intelektualne (niektórzy krytycy dopatrują się w jego dziełach niesłychanej głębi filozoficznej). Jego prace to wspaniałe mozaiki nawiązujące do tak trudnych działów matematyki jak geometria nieeuklidesowa, a przede wszystkim właśnie niepokojące "światy niemożliwe".

Ryc. 6. Jeszcze jedna "figura niemożliwa": ten przestrzenny trójkąt nie istnieje

Wybitny współczesny uczony, fizyk, matematyk i filozof Roger Penrose wymyślił także znany i fascynujący swoją formą "niemożliwy trójząb". Porzućmy teraz "figury niemożliwe" i pułapki, które zastawia na nas perspektywa ściślej zaś fakt, że geometria rzutowa nie jest geometrią euklidesową, do której Natura przystosowała nasz umysł. Zajmijmy się figurami innego rodzaju, w których nie ma zupełnie nic niemożliwego, a które... oszukują nasze oczy i umysł.

Ryc. 7. Wzrok szaleje: na przecięciach białych linii są plamy, czy ich nie ma?

Złudzenia optyczne bywają też używane przez matematyków do nabijania naiwnych w butelkę przy przeprowadzaniu różnego rodzaju fałszywych rozumowań. Trójkąt prostokątny u góry ma oczywiście pole 5 x 13 = 65, figura poniżej, złożona z tych samych części, zawiera o jedną kratkę mniej zatem 5 x 13 = 64.

Ryc. 8. Czy schody prowadzą w górę, czy w dół?

Gdzie tkwi błąd? Tym razem po prostu w niedokładności rysunku. Przeciwprostokątna dolnego trójkąta nie jest wcale odcinkiem, tylko w punkcie styku obszarów zielonego i czerwonego ma lekkie załamanie.

Już uwagi o geometrii rzutowej i metodach Monge'a udowadniają, że te figle matematyków mogą prowadzić do problemów najzupełniej poważnych. Ba, do stworzenia całkowicie nowych teorii (jak geometria Ponceleta).

Ryc. 9. Odległość między dziobkami ptaszków – które lecą ku sobie, wydaje się być większa niż odległość między dziobkami ptaszków odwróconych do siebie, tymczasem oba odcinki są równe

Analizowanie paradoksów i sprzeczności (wprawdzie nieco głębszych niż przytoczony wyżej "dowód", że 64 = 65...) doprowadziło także kilkakrotnie do skokowego postępu nauki, jak było choćby w wypadku znanego paradoksu Zenona ("Achilles goni żółwia, biegnąc odeń stukrotnie szybciej ale gdy pokona odcinek, dzielący go od zwierzęcia, ono już jest o setną część tego odcinka przed Achillesem; ten tedy żółwia nie dogoni nigdy..."). Wszystko to rzuca światło na samą istotę matematyki - a przez to wszelkiej wiedzy. Jak bowiem powiada Immanuel Kant: "w każdym poznaniu tyle tylko jest prawdy, ile jest w nim matematyki".