Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
MATEMATYKA W TOALECIE
Wiedza i Życie nr 9/2001
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 9/2001

Kilka lat temu - w roku 1997 - sir Roger Penrose był bohaterem głośnego procesu sądowego. W dodatku proces ten dotyczył praw autorskich do wzoru tłoczonego na... papierze toaletowym. Wszystko razem miało zaś bezpośredni związek z matematyką.

Chyba każdy widział posadzkę pokrytą płytkami. Płytki te mogą być kwadratami, prostokątami, trójkątami, sześciokątami foremnymi itd. Nie mogą to jednak być pięciokąty foremne - kilka prób pozwoli stwierdzić, że takich pięciokątów nie da się "dopasować", ale udowodnienie tego faktu wymaga już pewnej sprawności matematycznej. Bez trudu natomiast zdołamy ułożyć parkiet z pięciokątów nieforemnych.

Zastanówmy się: kiedy - mając do dyspozycji kilka rodzajów wielobocznych płytek (w ogólnym przypadku każda z nich może mieć inny kształt) - da się ułożyć je tak, by pokryły całą płaszczyznę bez żadnych luk i nie zachodziły jedna na drugą?

Jeśli takie ułożenie jest możliwe, to matematycy nazywają je "pokryciem płaszczyzny". Wszystkie te pokrycia znane z życia codziennego mają pewną wspólną cechę: są, jak to mówią matematycy, okresowe. Oznacza to, że ułożony wzór powtarza się, i to w dwóch niezależnych kierunkach. Innymi słowy, gdybyśmy chodzili po podłodze pokrytej taką posadzką i patrzyli wyłącznie pod nogi, to mogłoby się nam wydawać, że co pewien czas trafiamy do tego samego miejsca.

Oczywiście matematyków szalenie interesowało pytanie, czy każde pokrycie płaszczyzny musi być okresowe? Odpowiedź na nie jest negatywna. Istnieją pokrycia nieokresowe. Co więcej, istnieją takie układy płytek, z których da się sporządzić wyłącznie pokrycia nieokresowe. Udowodnienie tego faktu było dość złożonym zadaniem matematycznym, zaś pierwszy układ płytek o tej właściwości stworzył Robert Berger dopiero w 1966 roku, i składał się on - bagatela! - z 20 426 płytek.

Tu dygresja. Z bardzo trudnych prac amerykańskiego logika pochodzenia chińskiego, profesora Hao Wanga oraz późniejszych publikacji wspomnianego dopiero co Roberta Bergera wynika, że nie istnieje i nie może istnieć żaden przepis postępowania (algorytm, jak mówią matematycy i informatycy), który pozwoliłby stwierdzić, czy dany dowolny układ płytek nadaje się do stworzenia pokrycia płaszczyzny. Można podać sposoby rozstrzygnięcia tego problemu dla konkretnego układu (choćby przez zaprojektowanie odpowiedniego pokrycia...), ale w ogólnym przypadku problem jest nierozstrzygalny.

Nieco później Berger zredukował liczbę płytek niezbędnych do nieokresowego pokrycia płaszczyzny do 104, zaś w roku 1971 Rafael Robinson zmniejszył ją jeszcze raz: do sześciu.

I tu dochodzimy do sir Rogera Penrose'a. Na ryc. 3 przedstawiono inny od poprzedniego zbiór sześciu płytek o interesującej nas właściwości, który sir Roger wymyślił w roku 1973. Ale to nie koniec. Udało mu się w rok później zmniejszyć - drogą żmudnych prób i błędów - liczbę płytek, za pomocą których można pokryć płaszczyznę wyłącznie nieokresowo, do dwóch! I to na dwa różne sposoby!.

A może da się pójść jeszcze dalej? W 1981 roku znaleziono pojedynczą "uniwersalną" płytkę, którą da się pokryć płaszczyznę zarówno w sposób nieokresowy, jak i - przy innym ułożeniu - okresowo. Czy da się znaleźć taki kształt, który pokrywałby płaszczyznę wyłącznie nieokresowo? Niestety, na to proste pytanie nie znamy odpowiedzi. Wydaje się, że jest ono przerażająco trudne do rozstrzygnięcia.

Teraz wróćmy do procesu o papier toaletowy. Jeśli na takim papierze wytłoczy się wzór Penrose'a (obojętne, pierwszy czy drugi), to w uzyskanej rolce nigdy dwa wgłębienia nie trafią w to samo miejsce: pokrycie jest przecież nieokresowe. Powoduje to, że taka rolka jest "pulchniejsza", bardziej okazała. Producent - konkretnie była to firma Kimberly-Clark - nie tylko miał "ładniejszy" papier, ale także oszczędzał surowiec. Wyprodukowanie rolki o żądanej wielkości wymagało mniej papieru, jeśli był on pokryty "wzorem Penrose'a". Nie ma więc co się dziwić, że matematyk wytoczył firmie proces i wygrał go, uzyskując sowitą rekompensatę (oba układy płytek były bowiem opatentowane i nie wolno ich było wykorzystywać bez opłat).

Z płytek Penrose'a świetnie się również robi niezwykle trudne do ułożenia "puzzle". Ale najważniejsze jest to, że - jak się okazało - układanki takie występują również w przyrodzie. Pewne związki chemiczne tworzą takie nieokresowe "posadzki"; substancje te nazwano "kwazikryształami". Mają one bardzo ciekawe właściwości, m.in. są wyjątkowo trwałe. Przed kilku laty z takich właśnie materiałów Francuzi zaczęli robić odporne na zarysowanie pokrycia na garnki i patelnie. Gdzie jeszcze znajdą zastosowanie dziwne wielokąty?

Zobacz w Internecie

www.cs.uidaho.edu/~casey931/puzzle/penrose/
http://psyche.cs.monash.edu.au/v2/psyche-2-23-penrose.html
http://tlc.ai.org/penrose.htm
http://dhushara.tripod.com/book/quantcos/penrose/
www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/penrose.html