Twoja wyszukiwarka

BOGDAN MIŚ
MATEMATYCY TWORZĄ NOWE LICZBY
Wiedza i Życie nr 9/2001
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 9/2001

Wiemy dobrze, co to są dwa jabłka albo dwa samochody. Ale co to jest samo "dwa"?

Wybitny angielski filozof, logik i matematyk Bertrand Russell (1872-1970) powiedział:"kiedy myślę o liczbie dwa, głębia abstrakcji tego pojęcia przyprawia mnie o zawrót głowy". Wielki matematyk niemiecki, Leopold Kronecker (1823-1891), zasłynął - między innymi - zdaniem: "dobry Bóg stworzył liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka".

Rzeczywiście - wiemy, o czym mówimy, gdy prosimy o dwa jabłka. Ale samo "dwa"? Konia z rzędem temu, kto nie będąc zawodowym matematykiem, potrafi dać sobie radę z definicją choćby najprostszych liczb (naturalnych, jak mówią matematycy, mając na myśli którąś z ciągu 1, 2, 3,...).

Kronecker wiedział, że jest to trudne zadanie. Trudniejsze niż określenie liczby całkowitej (czyli jednej ze zbioru 0, ą1, ą2, ą3,...), gdy liczby naturalne "mamy do dyspozycji". Nawet trudniejsze niż określenie liczby wymiernej (czyli ułamka a/b, gdzie a i b oznaczają liczby całkowite i b nie jest równe zeru); bo to też potrafimy zrobić, jeśli tylko wiemy, czym jest liczba naturalna.

Trochę kłopotu jest z liczbami rzeczywistymi, których zbiór powstaje przez dołączenie do zbioru liczb wymiernych jeszcze mnóstwa liczb niewymiernych (ich przykładami mogą być pierwiastek kwadratowy z dwóch i liczba , ale jest ich znacznie, znacznie więcej, i wiele z nich jest naprawdę "cudacznych"). Z tym też damy sobie jednak radę (dziś umiemy to zrobić nawet na wiele sposobów), choć musimy już wyjść poza cztery działania zwykłej arytmetyki. Dla odmiany następny krok - skonstruowanie precyzyjnej definicji liczby zespolonej (czyli takiej, która podniesiona do kwadratu może dać liczbę ujemną) jest znowu technicznie dość łatwe - mimo że liczby zespolone wydają się laikom czymś zupełnie dziwnym i bardzo długo uważano je za zupełnie abstrakcyjną zabawkę nieco zwariowanych matematyków.

Dalsze uogólnianie pojęcia liczby nie ma sensu. Nie da się skonstruować czegoś (pomijając fakt, że nie ma takiej potrzeby), co by było ogólniejsze od liczby zespolonej i zachowywało się "jak na liczbę przystało". Ściśle mówiąc, da się jeszcze określić coś, co nazywamy kwaternionami, ale już na przykład ich mnożenie nie jest przemienne, więc jako liczby kwaterniony są - powiedzmy - mocno kulawe. No tak, ale kilkaset lat temu nie bardzo nawet wiedziano, co zrobić z liczbami całkowitymi ujemnymi. Ówcześni uczeni niezbyt mieli ochotę uwierzyć w ich realne istnienie (cokolwiek by to słowo miało znaczyć...); dopiero praktyczna uwaga, że mają one bardzo łatwą interpretację w życiu codziennym przy opisie na przykład długów czy temperatur mniejszych od zera, nadało im sens i prawo używalności. Jeszcze dawniej - bo w szkole słynnego Pitagorasa (Grecja, V wiek p.n.e.), spostrzeżono, że przekątna kwadratu jest liczbą niewymierną. Tak na marginesie tego odkrycia; legenda głosi, że ten z pitagorejczyków, który go dokonał, został natychmiast przez swoich kolegów zgładzony. Uznali oni, że istnienie odcinków, które - w świetle ówczesnych pojęć - w ogóle nie mają sensownej długości, jest faktem tak drastycznym, że należy to natychmiast całkowicie i skutecznie utajnić.

Już w czasach nowożytnych okazało się, że istnieją bardzo "przyzwoite" równania algebraiczne stopnia trzeciego, które mają "porządne" rzeczywiste pierwiastki - a jedynym sposobem na wyliczenie tych pierwiastków jest taki algorytm, w trakcie realizacji którego nie da się uniknąć wyciągania pierwiastków kwadratowych... z liczb ujemnych. Był to dla szesnastowiecznych matematyków szok, uznanie bowiem "legalności" czegoś takiego, co podniesione do kwadratu daje liczbę mniejszą od zera - wydawało im się przerażające. A bez tego absolutnie przepis nie działa!

Jak jednak współcześni matematycy określają kolejne rozszerzenia pojęcia liczby? Jak konstruuje się na przykład liczby całkowite ujemne, mając do dyspozycji tylko "stworzone przez dobrego Boga" liczby naturalne, albo jak się konstruuje liczby wymierne, mając już do dyspozycji całkowite?

Z grubsza rzecz ujmując, robi się to tak: mając zbiór liczb, który chcemy rozbudować, określa się nowy zbiór pewnych "przedmiotów", nie będących liczbami - w dotychczasowym sensie. Dla tych przedmiotów określa się jakieś "działanie", które parom owych przedmiotów przyporządkowuje jakiś trzeci. Teraz zauważa się, że - przy pewnej umowie - znane do tej chwili liczby dadzą się przyporządkować pewnemu specjalnemu podzbiorowi tych nowych "przedmiotów" w sposób - żeby znów użyć żargonu matematycznego - wzajemnie jednoznaczny. Jeśli tak, to pozostałe "przedmioty" uznaje się za nowe liczby... i już w zasadzie po wszystkim. Mamy rozszerzenie danego zbioru liczbowego, w którym działania dotychczas niewykonalne tę swoją niewykonalność tracą.

No, a teraz... pozbawimy Boga jego kroneckerowskiej prerogatywy. Okazuje się, że liczbę naturalną też daje się zdefiniować przy użyciu pojęć prostszych; wiemy o tym od czasu, gdy sprawą zajął się kolejny wielki Niemiec, Georg Cantor (1845-1918), tworząc podstawy teorii mnogości. Nie wnikając w jej szczegóły, powiedzmy tylko tyle, że koniec końców do zbudowania liczb naturalnych (a tym samym wszystkich innych i w ogóle całej matematyki) wystarczy nam jedno jedyne pojęcie. Tym pojęciem jest - proszę sobie wyobrazić - zbiór pusty, to jest nie zawierający ani jednego elementu. Jeśli uznamy jego istnienie i jeśli przyjmiemy, że wiemy, czym on jest (matematycy mówią: uznamy go za pojęcie pierwotne), to zaczynając od niego, skonstruujemy całą resztę. Bez wyjątku!

Wychodzi na to, że Kroneckera trzeba poprawić: można się zgodzić, że Bóg stworzył zbiór pusty; ale całą resztę roboty załatwiają matematycy.

Zobacz w Internecie

Słynne powiedzenia matematyków: http://math.furman.edu/~mwoodard/mquot.html
Biografie wielkich matematyków: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BioIndex.html
Historia symboli i znaków matematycznych: http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html